Mémoire présenté et défendu publiquement en vue de l' obtention du grade de Licencié en Pédagogie Appliquée, Agrégé de l'Enseignement Secondaire en Mathématiques

Le présent travail s'inscrit dans le cadre de l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles (EDP en sigle) en général et en particulier sur l'équation de Poisson,qui est une équation du type:

Trouver une fonction u(x) satisfaisant l'équation
.
.
.
Il existe méthodes de traitement numérique des EDP,notamment celles des différences finies et des éléments finis: Nous avons utilisé celle des éléments finis.

Ce travail est reparti en trois chapitres.

Au premier chapitre,nous avons présenté quelques notions de base d'analyse fonctionnelle et d'équations différentielles comme les espaces de Banach,de Hilbert et de Sobolev,le théorème de Lax-Milgram,la classification des EDP ainsi que leurs conditions aux limites.

Au deuxième chapitre,nous avons présenté la formulation variationnelle des problèmes aux équations aux dérivées partielles et des exemples ont été donnés.Le théorème de Lax-Milgram donne les conditions suffisantes dans lesquelles un problème aux EDP formulé variationnellement admet une solution unique.L'existence d'une solution unique d'un problème d'EDP est prouvée,la détermination de cette solution est une démarche qui n'est pas facile car la plupart d'équations différentielles ne s'intègrent pas analytiquement.

C'est pourquoi les démarches numériques sont utilisées à cet effet.

Le troisième et le dernier C+ chapitre concerne ainsi la détermination numérique de la solution de l'équation de Poisson par éléments finis. Cette méthode consiste à approcher,dans une suite de sous-espace de dimension finie,un problème écrit sous forme variationnelle dans un espace de dimension infinie.
La forme variationnelle dans une dimension finie revient à résoudre un système linéaire et la solution obtenue constitue une approximation de la solution exacte.On obtient ainsi une suite de solution approchées qui convergent vers la solution exacte.