Mémoire présenté et défendu publiquement en vue de l'obtention du grade de licencié en pédagogie Appliquée, Agrégé de l'Enseignement secondaire en mathématiques

Résumé,

Le présent travail s'inscrit dans le cadre de l'anlyse matricielle et il concerne précisément la présentation de deux différentes méthodes qui sont faciles dans leur mise en oeuvre, à savoir celle du poynôme caractéristique d'une matrice et celle de Gauss-Jordan.

Il est subdivisé en trois chapitres :
Le premier chapitre comporte les notions de base sur les matrices telles que la définition d'une matrice et les opérations arithmétiques y relatives, le déterminant et l'inverse d'une matrice, le polynôme matriciel, les polynômes caractéristiques et minimal d'une matrice, ...

Le deuxième chapitre porte sur l'inversion d'une matrice A carrée d'ordre n à l'aide de son polynôme caractéristique en utilisant le théorème de Cayley-Hamillton selon lequel toute matrice annule son polynôme caractéristique. Soit PA(x) le polynôme caractéristique de A qui est tel que PA(X)=dét (A-xl)=Xn+a&xn1+ a2xn-²+... = an-&x+an, I étant la matrice identité d'ordre n.
En posant X+O, on obtient PA(0)=dét(A)=an Selon le théorème de Cayley-Hamillton, on a PA(A)=An+a2An-²+.. + an-1 A+ anI=0

On a ainsi ; A (An-1+a2 An-3+... +an-1)= (An-1 +a1An-² =a2 An-3+ ... =an-1I) = -ANi

Si an +0, la relation précédente implique que : A-1= -1....................
et alors on calcule facilement l'inverse de A à l'aide de ses puissances. Par contre sile terme indépendant an du polynôme caractéristique de A est nul, la matrice A n'est pas inversible, car en effet le déterminant de A est nul., la matrice A n'est pas inversible, car en effet le déterminant de A est nul.

Le troisième qui est le dernier chapitre concerne l'inversion d'une matrice A d'ordre n par la méthode de Gauss-Jordan. Il s'agit de former la matrice (A/I) avec I la matrice identité d'ordre n. On procède par des transformations élémentaires sur ce bloc de matrice de façon à avoir la forme suivante (I/B).

Sous cette dernière forme la matrice B correspond à l'inverse A-1 de A.

S'il n'est pas possible d'avoir cette forme, c'est que la matrice A n'est pas inversible.

Différentes justifications de cettre méthode sont présentées également dans ce chapitre et sont relative aux différentes techniques de résolution des systèmes linéaires.