Mémoire présenté et défendu publiquement en vue de l'obtention du grade de Licencié en Pédagogie Appliquée, Agrégé de l'Enseignement secondaire en Mathématiques

Résumé,

L'équation de Riccati est une équation différentielle du premier ordre de forme générale : y'(X) = a(x)y² + b(x) avec a(x) et c(x) qui sont des fonctions continues de x sur un intervalle de R. Deux méthodes sont proposées pour résoudre l'équation en question à savoir.

1. Si par essais, on peut trouver la solution particulière yp(x), on procède par substitution de y(x) = yp(x) + z(x) avec z(x) une fonction inconnue de x, ce qui nous mène à résoudre l'équation de Bernouilli de la forme : z' = a(x)z² + f(x)z.
La résolution de cette dernière par changement de variables nous donne l'expression de z(x) ; d'où solution générale : y(x) = yp(x)+ z(x)

2. Si on ne parvient pas à trouver la solution particulière et que a(x) = O, on procède par changement de variables nous menant à une équation différentielle linéaire du second ordre, facile à résoudre qui est de la forme suivante :

u''(x) - R(x)u' + S(x)u = O où R (x) = a'(x) + b(x)
a(x)
S(x) = a(x) c(x) et u (x) est une fonction inconnue de x.

Une fois la fonction u(x) trouvée, la solution générale sera y(x) = u'(x)
a(x)u(x)

Enfin, l'équation de Riccati se rencontre en mécanique quantique dans les équations d'onde de Schrödinger, en contrôle optimal linéaire quantique (LQ) ou (LQG) et en mathématique financière dans le modèle Cox-Ingersoll-Ross.